Теорема Хаусдорфа

13.03.2021

Теорема (или парадокс) Хаусдорфа — доказываемое в теории множеств утверждение о существовании счётного подмножества T {displaystyle T} двумерной сферы S 2 {displaystyle S^{2}} , дополнение S ¯ 2 = S 2 ∖ T {displaystyle {ar {S}}^{2}=S^{2}setminus T} которого может быть представлено в виде объединения трёх непересекающихся множеств A {displaystyle A} , B {displaystyle B} и C {displaystyle C} , конгруэнтных друг другу и множеству B ∪ C {displaystyle Bcup C} . Впервые опубликована в 1914 году Феликсом Хаусдорфом. Эта теорема (как и основанная на её идеях парадокс удвоения шара) демонстрирует несоответствие теоретико-множественных представлений обычной геометрической практике (утверждая, в частности, что две копии S ¯ 2 {displaystyle {ar {S}}^{2}} можно разбить на шесть кусков и составить из них три копии S ¯ 2 {displaystyle {ar {S}}^{2}} ). Поэтому иногда называется «парадоксом».

Доказательство теоремы существенно использует аксиому выбора. Замена этой аксиомы некоторыми альтернативными позволяет доказать отрицание теоремы Хаусдорфа (то есть невозможность соответствующего разбиения сферы).

Из теоремы следует, что на двумерной сфере не существует конечно-аддитивной меры, определённой на всех подмножествах и принимающей равные значения на конгруэнтных множествах (то есть инвариантной относительно движений сферы).

Иногда под «парадоксом Хаусдорфа» понимают другую теорему, доказанную в той же статье, что и рассматриваемая. Эта теорема даёт пример похожий на множество Витали. Она утверждает, что единичный отрезок можно разбить на счётное число кусков и с помощью одних только сдвигов составить отрезок длины два. Это показывает, что на прямой нет меры, определённой на всех подмножествах и инвариантной относительно сдвигов. Тем не менее, возможно определить конечно-аддитивную меру для всех ограниченных подмножеств плоскости (как и прямой), такую, что равносоставленные множества будут иметь равную меру.

Идея доказательства

Здесь мы докажем упрощённый вариант теоремы. А именно, мы докажем существование разбиения сферы с выколотым счётным множеством точек (назовём её S ¯ 2 {displaystyle {ar {S}}^{2}} ) на три попарно конгруэнтных куска A {displaystyle A} , B {displaystyle B} и C {displaystyle C} таких, что B ∪ C {displaystyle Bcup C} конгруэнтно подмножеству A {displaystyle A} . Как и теорема Хаусдорфа, это утверждение показывает, что на двумерной сфере нельзя определить «площадь», значение которой существовало бы для любого подмножества и оставалось бы неизменным при движениях.

Доказательство разбивается на следующие три шага:

  • Находим специальное разбиение некоторой группы с двумя образующими Γ {displaystyle Gamma } на три подмножества.
  • Строим свободное изометрическое действие этой группы на S ¯ 2 {displaystyle {ar {S}}^{2}} .
  • Используем разбиение Γ {displaystyle Gamma } и аксиому выбора для того, чтобы произвести нужное разбиение сферы.
  • Шаг 1

    Рассмотрим группу Γ {displaystyle Gamma } с двумя образующими a {displaystyle a} и b {displaystyle b} и соотношениями a 2 = 1 {displaystyle a^{2}=1} и b 3 = 1 {displaystyle b^{3}=1} (иначе говоря, Γ = Z 2 ∗ Z 3 {displaystyle Gamma ={mathbb {Z} }_{2}*{mathbb {Z} }_{3}} , где ∗ {displaystyle *} обозначает свободное произведение групп). Группа Γ {displaystyle Gamma } состоит из пустого слова, которое мы обозначаем 1 {displaystyle 1} (это единица нашей группы) и всех конечных слов из трёх символов b , b − 1 {displaystyle b,;b^{-1}} и a {displaystyle a} такие, что b {displaystyle b} и b − 1 {displaystyle b^{-1}} чередуются с a {displaystyle a} . Таким образом, все элементы (кроме единицы) можно представить единственным образом как a b ± 1 a b ± 1 … b ± 1 a {displaystyle ab^{pm 1}ab^{pm 1}dots b^{pm 1}a} или b ± 1 a b ± 1 a … b ± 1 a {displaystyle b^{pm 1}ab^{pm 1}aldots b^{pm 1}a} или a b ± 1 a b ± 1 … a b ± 1 {displaystyle ab^{pm 1}ab^{pm 1}ldots ab^{pm 1}} или b ± 1 a b ± 1 a … a b ± 1 {displaystyle b^{pm 1}ab^{pm 1}aldots ab^{pm 1}} .

    Группу Γ {displaystyle Gamma } можно разбить следующим образом: пусть A {displaystyle {mathbb {A} }} будет множество всех слов, начинающихся с b {displaystyle b} , B {displaystyle {mathbb {B} }} будет множество всех слов, начинающихся с b − 1 {displaystyle b^{-1}} и C {displaystyle {mathbb {C} }} будет множество всех остальных элементов Γ {displaystyle Gamma } . Ясно, что

    Γ = A ∪ B ∪ C , {displaystyle Gamma ={mathbb {A} }cup {mathbb {B} }cup {mathbb {C} },}

    то есть мы разбили нашу группу Γ {displaystyle Gamma } на три непересекающихся подмножества. Также

    A = b C , {displaystyle {mathbb {A} }=b{mathbb {C} },} B = b − 1 C , {displaystyle {mathbb {B} }=b^{-1}{mathbb {C} },} A ∪ B ⊂ A ∪ B ∪ { 1 , a } = a C . {displaystyle {mathbb {A} }cup {mathbb {B} }subset {mathbb {A} }cup {mathbb {B} }cup {1,;a}=a{mathbb {C} }.}

    Шаг 2

    Несложно показать, что существует представление Γ {displaystyle Gamma } с помощью вращений сферы такое, что полученное действие свободно на всей сфере, кроме счётного числа точек. Давайте выкинем из сферы это счётное множество и назовём остаток S ¯ 2 {displaystyle {ar {S}}^{2}} . (На самом деле, если взять два поворота сферы на углы π {displaystyle pi } и 2 π / 3 {displaystyle 2pi /3} общего положения и сопоставить их образующим a {displaystyle a} и b {displaystyle b} , то индуцированное действие Γ {displaystyle Gamma } будет удовлетворять этому условию).

    Шаг 3

    Рассмотрим множество X {displaystyle X} , содержащее по одному элементу каждой орбиты Γ {displaystyle Gamma } на S ¯ 2 {displaystyle {ar {S}}^{2}} (утверждение о существовании этого множества опирается на аксиому выбора). Тогда наша «колотая» сфера S ¯ 2 {displaystyle {ar {S}}^{2}} представляется как объединение следующих непересекающихся множеств:

    S ¯ 2 = A ∪ B ∪ C , {displaystyle {ar {S}}^{2}=Acup Bcup C,}

    где

    A = A X , B = B X , C = C X . {displaystyle A={mathbb {A} }X,;B={mathbb {B} }X,;C={mathbb {C} }X.}

    Используя тот же приём, что и на шаге 1, мы получаем:

    A = b C , {displaystyle A=bC,} B = b − 1 C , {displaystyle B=b^{-1}C,} A ∪ B ⊂ a C , {displaystyle Acup Bsubset aC,}

    и, так как a {displaystyle a} и b {displaystyle b} являются изометриями, мы получаем, что A {displaystyle A} , B {displaystyle B} и C {displaystyle C} конгруэнтны, и A ∪ B {displaystyle Acup B} конгруэнтно подмножеству C {displaystyle C} .