Функции Кельвина

13.03.2021

Функции Кельвина — группа бесселевых функций. Каждая их пара представляют решения дифференциального уравнения:

x 2 d 2 f d x 2 + x d f d x − ( i x 2 + ν 2 ) f = 0 {displaystyle x^{2}{frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+x{frac {df}{dx}}-(ix^{2}+ u ^{2})f=0}

Введены Уильямом Томсоном (лордом Кельвином), который исследовал их в приложениях.

Функции Кельвина первого рода

Они определяются следующим образом:

ber ν ⁡ ( x ) = Re ⁡ ( e i ν π 2 ⋅ I ν ( x ⋅ e i π 4 ) ) {displaystyle operatorname {ber} _{ u }(x)=operatorname {Re} left(e^{frac {i u pi }{2}}cdot I_{ u }(xcdot e^{frac {ipi }{4}}) ight)} bei ν ⁡ ( x ) = Im ⁡ ( e i ν π 2 ⋅ I ν ( x ⋅ e i π 4 ) ) {displaystyle operatorname {bei} _{ u }(x)=operatorname {Im} left(e^{frac {i u pi }{2}}cdot I_{ u }(xcdot e^{frac {ipi }{4}}) ight)}

где I ν ( x ) {displaystyle I_{ u }(x)} — функция Инфельда

Для целых n имеет место разложения в ряд:

b e i n ( x ) = ( x 2 ) n ∑ k ≥ 0 sin ⁡ [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] k ! Γ ( n + k + 1 ) ( x 2 4 ) k {displaystyle mathrm {bei} _{n}(x)=left({frac {x}{2}} ight)^{n}sum _{kgeq 0}{frac {sin left[left({frac {3n}{4}}+{frac {k}{2}} ight)pi ight]}{k!Gamma (n+k+1)}}left({frac {x^{2}}{4}} ight)^{k}} b e r n ( x ) = ( x 2 ) n ∑ k ≥ 0 cos ⁡ [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] k ! Γ ( n + k + 1 ) ( x 2 4 ) k {displaystyle mathrm {ber} _{n}(x)=left({frac {x}{2}} ight)^{n}sum _{kgeq 0}{frac {cos left[left({frac {3n}{4}}+{frac {k}{2}} ight)pi ight]}{k!Gamma (n+k+1)}}left({frac {x^{2}}{4}} ight)^{k}}

Функции Кельвина второго рода

Они определяются следующим образом: ker ν ⁡ ( x ) = Re ⁡ ( e − i ν π 2 ⋅ K ν ( x ⋅ e i π 4 ) ) {displaystyle operatorname {ker} _{ u }(x)=operatorname {Re} left(e^{-{frac {i u pi }{2}}}cdot K_{ u }(xcdot e^{frac {ipi }{4}}) ight)}

kei ν ⁡ ( x ) = Im ⁡ ( e − i ν π 2 ⋅ K ν ( x ⋅ e i π 4 ) ) {displaystyle operatorname {kei} _{ u }(x)=operatorname {Im} left(e^{-{frac {i u pi }{2}}}cdot K_{ u }(xcdot e^{frac {ipi }{4}}) ight)}

где K ν ( x ) {displaystyle K_{ u }(x)} — функция Макдональда.

Для целых n имеет место разложения в ряд:

k e i n ( x ) = − 1 2 ( x 2 ) − n ∑ k = 0 n − 1 sin ⁡ [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ( n − k − 1 ) ! k ! ( x 2 4 ) k − ln ⁡ ( x 2 ) B e i n ( x ) − π 4 B e r n ( x ) + 1 2 ( x 2 ) n ∑ k ≥ 0 sin ⁡ [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ψ ( k + 1 ) + ψ ( n + k + 1 ) k ! ( n + k ) ! ( x 2 4 ) k {displaystyle mathrm {kei} _{n}(x)=-{frac {1}{2}}left({frac {x}{2}} ight)^{-n}sum _{k=0}^{n-1}sin left[left({frac {3n}{4}}+{frac {k}{2}} ight)pi ight]{frac {(n-k-1)!}{k!}}left({frac {x^{2}}{4}} ight)^{k}-ln left({frac {x}{2}} ight)mathrm {Bei} _{n}(x)-{frac {pi }{4}}mathrm {Ber} _{n}(x)+{frac {1}{2}}left({frac {x}{2}} ight)^{n}sum _{kgeq 0}sin left[left({frac {3n}{4}}+{frac {k}{2}} ight)pi ight]{frac {psi (k+1)+psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}left({frac {x^{2}}{4}} ight)^{k}} k e r n ( x ) = 1 2 ( x 2 ) − n ∑ k = 0 n − 1 cos ⁡ [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ( n − k − 1 ) ! k ! ( x 2 4 ) k − ln ⁡ ( x 2 ) B e r n ( x ) + π 4 B e i n ( x ) + 1 2 ( x 2 ) n ∑ k ≥ 0 cos ⁡ [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ψ ( k + 1 ) + ψ ( n + k + 1 ) k ! ( n + k ) ! ( x 2 4 ) k {displaystyle {egin{aligned}mathrm {ker} _{n}(x)&={frac {1}{2}}left({frac {x}{2}} ight)^{-n}sum _{k=0}^{n-1}cos left[left({frac {3n}{4}}+{frac {k}{2}} ight)pi ight]{frac {(n-k-1)!}{k!}}left({frac {x^{2}}{4}} ight)^{k}-ln left({frac {x}{2}} ight)mathrm {Ber} _{n}(x)+{frac {pi }{4}}mathrm {Bei} _{n}(x)&{}quad +{frac {1}{2}}left({frac {x}{2}} ight)^{n}sum _{kgeq 0}cos left[left({frac {3n}{4}}+{frac {k}{2}} ight)pi ight]{frac {psi (k+1)+psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}left({frac {x^{2}}{4}} ight)^{k}end{aligned}}}

Функции Кельвина третьего рода

Они определяются следующим образом:

her ν ⁡ ( x ) = Re ⁡ ( H ν ( 1 ) ( x ⋅ e 3 i π 4 ) ) {displaystyle operatorname {her} _{ u }(x)=operatorname {Re} left(H_{ u }^{(1)}(xcdot e^{frac {3ipi }{4}}) ight)} hei ν ⁡ ( x ) = Im ⁡ ( H ν ( 1 ) ( x ⋅ e 3 i π 4 ) ) {displaystyle operatorname {hei} _{ u }(x)=operatorname {Im} left(H_{ u }^{(1)}(xcdot e^{frac {3ipi }{4}}) ight)}

где H ν ( 1 ) ( x ) {displaystyle H_{ u }^{(1)}(x)} — функция Ханкеля первого рода.