Формула Гаусса

20.03.2021

Формула Гаусса (соотношение Гаусса, уравнение Гаусса) — выражение для гауссовой кривизны поверхности в трёхмерном римановом пространстве через главные кривизны и секционную кривизну объемлющего пространства. В частности, если объемлющее пространство евклидово, то гаусова кривизна поверхности равна произведению главных кривизн в этой точке.

Формулировка

Пусть S {displaystyle S} — двумерная поверхность в трёхмерном римановом пространстве M {displaystyle M} . Тогда

K S ( x ) = K M ( σ S ( x ) ) + κ 1 ( x ) κ 2 ( x ) , {displaystyle K_{S}(x)=K_{M}(sigma _{S}(x))+kappa _{1}(x)kappa _{2}(x),}

где

  • K S {displaystyle K_{S}} — гауссова кривизна поверхности S {displaystyle S} в точке x ∈ S {displaystyle xin S} ,
  • K M ( σ S ( x ) ) {displaystyle K_{M}(sigma _{S}(x))} — секционная кривизна пространства M {displaystyle M} в направлении σ S ( x ) {displaystyle sigma _{S}(x)} , касательном к поверхности S {displaystyle S} в точке x {displaystyle x} ,
  • κ 1 ( x ) {displaystyle kappa _{1}(x)} , κ 2 ( x ) {displaystyle kappa _{2}(x)} — главные кривизны поверхности S {displaystyle S} в точке x . {displaystyle x.}

Обобщение на большие размерности

Формула допускает обобщения на произвольную размерность и коразмерность вложенного подмногообразия S ⊂ M {displaystyle Ssubset M} . В этом случае тензор кривизны R S {displaystyle R_{S}} подмногообразия S {displaystyle S} выражается через сужение тензора кривизны R M {displaystyle R_{M}} пространства M {displaystyle M} на подпространство касательное к S {displaystyle S} и вторую квадратичную форму q S {displaystyle q_{S}} подмногообразия S {displaystyle S} на касательном пространстве T S {displaystyle TS} со значениями в нормальном пространстве к S {displaystyle S} :

⟨ R S ( X , Y ) Z , W ⟩ = ⟨ R M ( X , Y ) Z , W ⟩ + ⟨ q S ( Y , W ) , q S ( X , Z ) ⟩ − ⟨ q S ( X , W ) , q S ( Y , Z ) ⟩ . {displaystyle langle R_{S}(X,Y)Z,W angle =langle R_{M}(X,Y)Z,W angle +langle q_{S}(Y,W),q_{S}(X,Z) angle -langle q_{S}(X,W),q_{S}(Y,Z) angle .}

Следует иметь в виду, что разные авторы определяют тензор кривизны с разным знаком и порядком аргументов.