Секвенциальное замыкание

01.04.2021

Секвенциальная замкнутость — более слабое свойство, чем топологическая замкнутость. Если множество топологически замкнуто, то оно и секвенциально замкнуто, но не наоборот.

Сходимость по топологии

Пусть ( X , τ ) {displaystyle (X,{ au })} — топологическое пространство. Говорят что { x n } {displaystyle {x_{n}}} сходится по топологии τ {displaystyle { au }} к x ∈ X {displaystyle xin X} , если ∀ {displaystyle forall } окрестности U ( x ) ∃ N ∀ n > N : x n ∈ U ( x ) {displaystyle U(x)exists Nforall n>N:x_{n}in U(x)} и обозначают x n ⟶ τ x {displaystyle x_{n}{stackrel { au }{longrightarrow }}x} .

Секвенциальная точка прикосновения

Пусть ( X , τ ) {displaystyle (X,{ au })} — топологическое пространство. Точка x ∈ X {displaystyle xin X} называется секвенциальной точкой прикосновения множества S ⊂ X {displaystyle Ssubset X} , если существует последовательность { x n } ⊂ S {displaystyle {x_{n}}subset S} , такая что x n ⟶ τ x {displaystyle x_{n}{stackrel { au }{longrightarrow }}x} .

Секвенциальная замкнутость

Множество S ∈ X {displaystyle Sin X} называется секвенциально замкнутым если любая его секвенциальная точка прикосновения принадлежит ему.

Секвенциальное замыкание

Множество всех секвенциальных точек прикосновения X {displaystyle X} называется его секвенциальным замыканием.